『ヒルベルト空間と量子力学 改訂増補版 (共立講座 21世紀の数学 16)』
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ISBN-13 9784320110892
ヒルベルト空間と線形作用素の理論の基本的なアイデアと結果を系統的に叙述し,ヒルベルト空間の形式を用いて量子力学の数学的基礎を解説。 平成9年の初版以来,多くの方にご愛読を頂いた本書に,新たな応用的知識を増補することにより,ヒルベルト空間に関する更なる広い知識と深い理解の修得を目指す。
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第 1 章 ヒルベルト空間
1.1 ベクトル空間
1.1.1 ベクトル空間の公理系
1.1.2 いくつかの基本概念
1.1.3 ベクトル空間の例
例1.4 $ \bf K上の函数空間$ \mathbf V^Xにて、$ Xが無限集合かつ$ V\neq\{0\}なら$ \mathbf V^Xは無限次元線型空間である 証明
「$ Xが無限集合」$ \implies\exist x_\bullet:\N\rightarrowtail X $ V\neq\{0\}\implies\exist\psi\in V\setminus\{0\}
$ f_\bullet:\N\ni n\mapsto(x\mapsto\psi\llbracket x=x_n\rrbracket)\in V^Xとする
$ \forall n\in\N:f^\to(\N_{\le n})は$ \mathbf V^Xにて線形独立となる $ \because\forall a:\N\to K:
$ \sum_{1\le i\le n}a_if_i=0
$ \iff\forall x\in X:\sum_{1\le i\le n}a_if_i(x)=0
$ \iff\forall x\in X:\sum_{1\le i\le n}a_i\psi\llbracket x=x_i\rrbracket=0
$ \implies\forall j\in\N_{\le n}:\sum_{1\le i\le n}a_i\psi\llbracket x_j=x_i\rrbracket=0
$ \implies\forall j\in\N_{\le n}:\sum_{1\le i\le n}a_i\psi\llbracket j=i\rrbracket=0
$ \because x_\bulletの単射性
$ \implies\forall j\in\N_{\le n}:a_j\psi=0
$ \iff\forall j\in\N_{\le n}:a_j=0
$ \because\psi\neq 0
1.1.4 ベクトル空間の直和
1.2.1 内積空間の公理系
1.2.2 内積空間の幾何学
1.2.3 正規直交系の存在 グラムーシュミットの直交化法
1.3.1 内積空間の位相
1.3.2 完備性とヒルベルト空間
1.3.3 ヒルベルト空間の直和
1.6 L2(Rd) におけるいくつかの基本的事実
1.6.1 基本的な関数空間と L2(Rd) の可分性
1.6.2 閉区間上の L2 空間とフーリエ級数
1.7 より一般的な空間への上昇 ノルム空間とバナッハ空間
1.7.4 内積空間の完備化
練習問題
2.1 線形作用素
2.5.1 稠密に定義された有界作用素の拡大
2.5.2 有界作用素の空間
2.5.4 ヒルベルト空間と有界作用素の空間の収束の諸位相
2.7 作用素の拡大と共役作用素
2.8 閉作用素と可閉作用素
2.9 レゾルヴェントとスペクトル
2.9.4 スペクトルの基本的性質
2.10.2 自己共役作用素
2.11 自己共役作用素のスペクトル
2.12.1 定義と基本的性質
2.12.2 自己共役なコンパクト作用素のスペクトル
2.12.4 コンパクト作用素の標準形
2.13 一般の線形作用素のスペクトルの分類
練習問題
3.2.1 単位の分解と測度
3.2.2 作用素値汎関数
3.3 作用素値汎関数の性質 作用素解析
3.4.4 スペクトル測度の台とスペクトル
3.4.5 自己共役作用素のベキ乗
練習問題
第 4 章 自己共役作用素の解析
4.3.2 自己共役作用素から定まるユニタリ作用素の族
4.4.1 強可換性
4.4.2 強可換な自己共役作用素の組の関数
練習問題
第 5 章 偏微分作用素の本質的自己共役性とスペクトル 190
5.1 急減少関数の空間とフーリエ変換
5.3 スペクトル
5.4 一般化されたラプラシアン
練習問題
第6章 量子力学の数学的原理
6.1 量子力学とはどういうものか
6.2 量子力学の基礎概念 状態と物理量
6.3 ハイゼンベルクの不確定性関係
6.4.2 物理量の例
6.4.3 CCRの表現としての量子力学 CCR の表現の一意性の問題についての注意 練習問題
第 7 章 量子調和振動子
7.2 固有値問題の抽象的定式化とその解
練 習 問 題
第8章 球対称なポテンシャルをもつ量子系と水素原子
8.1 水素様原子のハミルトニアン
8.2 球対称ポテンシャルをもつ量子系
8.2.1 極座標系での表示
8.2.2 U ∆U −1 の計算
8.2.3 Θ の固有値
8.2.4 作用素 Θ の物理的意味
8.2.5 Θ のスペクトルの同定と固有関数展開
8.2.6 ハミルトニアン Hsym の U −1Kℓ,m への制限
8.2.7 水素様原子のハミルトニアンの固有値
練 習 問 題
付録 A ルベーグ積分論における基本定理
付録 B 確率論の基本的事項
練習問題解答
あ と が き
索 引